اصل وتاريخ الرياضيات والهندسة بالتفصيل الملل

اصل وتاريخ الرياضيات والهندسة



علم الجبر

تاريخ علم الجبر :

في مصر القديمة
لقد عرف المصريون القدماء الجبر فاستعملوا معادلات من الدرجة الأولى و حلوها بطرق مختلفة كما عرفوا معادلات من الدرجة الثانية و حلوا مسائل تؤدي إليها ، و أقدم ما نعرف من علم الجبر عند المصريين نجده في بردى الكاتب المصري (أحمس) التي نسخها نحو 1650ق م ، و هو يذكر أنه نقل هذه البردية عن أصل يرجع إلى نحو 1850ق م ، و يبدوا من المعلومات الرياضية الموجودة في هذه
البردية تعود إلى أيام فرعون زوسر أحد ملوك الأسرة الثالثة (نحو 3000ق م ) ، و صاحب هرم سقارة المدرج أقد الأبنية الحجرية في مصر و فيها نجد ما يدل على أن المصريين القدماء قد عرفوا المتواليات العددية و المتواليات الهندسية و قد عرفوا أيضا معادلات من الدرجة الثانية مثل المعادلتين : س2+ص2=100 ، ص=3/4س ،حيث س=8 ، ص= 6 ، و هذه المعادلة هي الأساس التاريخي
لنظرية فيثاغورس أ2=ب2+ج2 ، و كان المصريون يسمون العدد المجهول (كومة) .
وبابل
و في حوالي 2000 ق م وضع البابليون القدماء جداول للمربعات و المكعبات و حلوا معادلات الدرجة الثانية و الثالثة
والاغريق
، كما عرف الإغريق الحل الهندسي لمعادلات الدرجة الثانية في عصر فيثاغورس ، و قد لمس الإسكندريون الحاجة إلى علم الجبر فبحث (ديوفانتس) الذي عاش في الإسكندرية في القرن الثالث الميلادي (250م) في حل معادلات الدرجة الثانية ذات المعاملات الموجبة ،
وحتى الهنود الحمر
كما عرف الهنود علم الجبر فقام (إرمابهاتا) بإيجاد عدد حدود المتوالية الحسابية التي عرف منها الحد الأول و الأساس و جموع الحدود ، و وضه (برهما جوبتا ) في القرن السابع الميلادي قاعدة لحل معامدلات الدرجة الثانية .
والعرب
و لقد اشتغل العرب بالجبر و ألفوا فيه بصورة علمية منظمة ، حتى أن (كاجوري) قال : (( إن العقل ليدهش عندما يرى ما عمله
العرب في الجبر .. )) و من أشهر مؤلفاتهم كتاب ( الجبر و المقابلة ) لمحمد بن موسى الخوارزمي ، و كتاب الخيام في الجبر الذي نشره (ووبك في مارس 1851م) ، قسم العرب المعادلات إلى ستة أقسام و وضعوا حلولا لكل منها ، و استعملوا الرموز في الأعمال
الرياضية و بحثوا في نظرية ذات الحدين ، و أوجدوا قانونا لإيجاد مجموع الأعداد الطبيعية ، و عنوا بالجذور الصماء و مهدوا لإكتشاف اللوغاريتمات .
و في القرن الثالث عشر الميلادي بدأت العلوم الرياضية عند العرب و غيرها تنتقل إلى أوربا عن طريق الأندلس فترجموا مؤلفات العرب في العلوم المختلفة و منها الجبر فقام الرهب جوردانس (حوالي 1220م) باستبدال الكلمات في العبارات الجبرية بالرموز ، و لقد فعل معاصره (فيبوناكي) نفس الشيء فألف كتابا عن الحساب و مبادئ علم الجبر أوضح فيه تأثره بكتابات الخوارزمي و أبي كامل العلمين العربيين .
وفي القرن السادس عشر توصل العلماء إلى حل معادلات الدرجة الثالثة و الرابعة ، و في القرنين السابع عشر و الثامن عشر توصلوا إلى نتائج باهرة في بحوثهم عن متسلسلات القوى و خواصها .
والغرب
و في القرن التاسع عشر بدأ اكتشاف علوم الجبر الأخرى فابتكر (هاملتون 1805-1865)جبر الرباعيات المسمى باسمه ، و نشر العالم الرياضي ( جراسمان 1809-1877) كتابا يحتوي على بعض أنواع الجبر العامة الأخرى ، و ابتكر العالم الإنجليزي (كيلي 1821-1895) جبر المصفوفات
و كانت أبحاث ( بول 1815-1864) قد ظهرت منذ سنة 1854 و من بين هذه الأبحاث الجبر البولي ، كما ظهرت سنة 1881 أشكال فن لتوضيح الجبر البولي ، و اخترع بيرس سنة 1780 جبر التنسيق الخطي
وشكرا


شخصية بارزة في مجال الهندسة
شخصية عربية قديرة
لها الكثير من الفضل على الهندسة حاليا
هذه الشخصية اسمها


ثابت بن قرة

(211 -288هـ / 827 -900م)



ثابت بن قرة بن مروان بن ثابت بن إبراهيم بن كرّايا بن مارنيوس بن سلامانس، وفي رواية أخرى أن اسمه: "ثابت بن قرة بن مروان بن قيورا بن مارينون بن سلومون الحراني" ويعرف بالحراني، وكنيته أبو الحسن، الرياضي، الطبيب، عالم الطبيعة، الفلكي، الموسيقي، المترجم، ولد بمدينة حران على نهر البليخ أحد روافد نهر الفرات.
وكان التعليم الأولي في حران منذ الفتح الإسلامي بالمساجد والمدارس (الكتاتيب)، وكانت اللغة العربية لغة التعليم في المراحل الأولى، ودخل ثابت هذه المدارس، وتعلم بها اللغة، والشعر، والفقه، والحديث، وعلوم القرآن الكريم. وعندما أتم ثابت الخامسة عشرة من عمره، التحق بحلقات العلم في المسجد الجامع بحران - معبد شارا سابقا - ليتلقى تعليمه العالي على أيدي الأساتذة باللغتين السريانية واليونانية إلى جانب اللغة العربية، وتلقى بحلقات هذا المسجد دروس الفلسفة والرياضيات والفلك والمنطق والطب بهذه اللغات الثلاث، ودرس الكتب المعتمدة في العلوم البحتة، وهي كتب: أرسطو، وأفلاطون، وإقليدس، وجالينوس.
وقد تدرب ثابت على أيدي أساتذته بالمسجد الجامع على قراءة النصوص اليونانية والسريانية قراءة سليمة بلغة واضحة، وعلى التأكد من صحة نسبة هذه النصوص وعدم انتحالها، ثم تدرب على شرح النص والتعليق عليه بالاشتراك مع زملائه من الطلاب، ثم تدرب على نقل النصوص من السريانية أو اليونانية إلى العربية، في عمل جماعي مشترك. كانوا ينقلون فيه المعنى بحرية، ثم يصوغونه بألفاظهم الخاصة. وحين يصعب عليهم إيجاد لفظة عربية مقابلة للفظ اليوناني أو السرياني كان الأساتذة يسمحون لهم بإبقائه بلغته الأصلية إلى أن يجدوا له مشتقا يتناسب مع المعنى الجديد في اللغة العربية. كذلك تدرب ثابت على تنمية ملكة الحفظ عنده فهي عماد التعليم في ذلك الحين، فكان يحفظ الجوامع والملخصات التي وضعها المعلمون، ويقدم لها مع زملائه من الطلاب شروحا قد لا تكون هي شروح معلمي المسجد الجامع، الحريصين على إتاحة حرية البحث والتفكير لطلاب مرحلة الدراسة العليا.
وبرز ثابت بين أقرانه في المسجد الجامع الكبير، وتميز بعقليته الموسوعية في الفلسفة والرياضيات خاصة. وأجيز ثابت في العلم والتدريس، فصار له الحق في كشف أسرار العلم، وتفسير كتب أرسطو وأفلا طون وإقليدس وغيرهم. ودعي: صدّيقيا .
وتصدر ثابت للتدريس بالمسجد الجامع الكبير وهو في العشرين من عمره عام 230هـ - 844م وذاعت شهرته في ديار مضر شمالي الجزيرة (أرض الشمال بين نهري دجلة والفرات) . ومن الكتب التي درّسها ثابت بن قرة بالمسجد الجامع كتاب "المخروطات" لأبولونيوس الصوري، وكتاب "الإيقاع الهرموني" لأرستكسينوس التارنتي (عاش حوالي 350 ق.م) .
ومن الكتب التي درّسها ثابت بالمسجد الجامع الكبير في الطب كتب "جالينوس البرغامي" (عاش بين عامي 130-202 ق.م)، وكان ثابت يسميه الحكيم الفاضل، كما كان يعتمد حكمة أبقراط القائلة: "إن حفظ الصحة في دفع المرض بما يضاده". ومن الكتب التي درّسها ثابت في معهد المسجد الجامع كتب الفلسفة اليونانية، وبخاصة كتب أرسطو وأفلاطون وسقراط. وقد اتخذ ثابت في الفلسفة موقفا لم يرضَ عنه زملاؤه من الأساتذة. فقد أعلى ثابت من شأن الحرية العقلية، ومن هنا بدأ الخلاف بينه وبينهم، وقد استعْدَوا عليه السلطات العباسية الحاكمة في حران، ومع أن أكثر شباب حران العلماء كانوا مع ثابت، فقد زاد عليه ضغط الحياة، وقلت مساحة حريته في تدريسه بالمسجد الجامع، فاضطر ثابت بعد أربع سنوات أو خمس من قيامه بمهمة التدريس إلى الهرب إلى قرية "كفر توثا"، وهي قرية كبيرة تقع بين مدينتي رأس العين في الشرق وحران في الغرب بأرض الجزيرة.
وكان ثابت قد عمل بحران أرصادا لكتب بطليموس الفلكية، وترجم بعضها معتمدا على النصوص السريانية واليونانية، وشرح كتاب "الأصول" لإقليدس، وهو كتاب في الهندسة، ثم شرع في ترجمته، وتصدى للبرهنة على مسلمة إقليدس، وحاول تحويلها إلى نظرية "الخطين المتوازيين" في كتاب بعنوان: البرهان على أن الخطين المتوازيين إذا ضُبِطا على أقل من متوازيين مستقيمين التحما معا . وفي عام 234هـ - 848م غادر ثابت كفر توثا إلى مدينة الرقة ، وأنشأ بها ما يشبه أن يكون مدرسة عليا لتعليم الفلسفة والفلك والطب، وانتسب إلى هذه المدرسة أبناء الطوائف: الحرانية، المسيحية، اليهودية.
وكان من تلاميذه الحرانيين: ابناه: سنان وإبراهيم، وابن أخته البتاني ، وبنو الصباح الحرانية: محمد وإبراهيم والحسين وكانوا من حُذاق المترجمين وعلماء الهندسة، وقرة بن قُميطا، وأبو روح الصابئ، وإبراهيم بن زهرون قريب ثابت بن قرة، وأسيد بن عيسى وقد لحق بثابت فيما بعد ببغداد وساعده في الترجمة، وأيوب بن قاسم الرقيّ، وعثمان ابن عنبسة وقد صارا فيما بعد مترجمين مشهورين ببغداد، وكان من تلاميذه أبو الثناء الذي نبغ في الفلسفة والطب.
وحين ذاع صيت ثابت بن قرة في أرض الجزيرة، سعى إليه أولاد بني موسى ليترجم لهم في بغداد الكتب، ويصحح بعض ما كان تُرجم منها، ويصلح لهم أرصادهم بمرصد الشماسية ويشرح لهم الغامض من علم الحيل وعلوم الهندسة الأخرى.
التقى محمد بن موسى بن شاكر أكبر أبناء بني شاكر بثابت بن قرة في الرقة، وأخذه محمد معه إلى بلاد الروم البيزنطيين لجلب الكتب اليونانية، ثم أخذه معه إلى بغداد عام 251هـ - 865م في عهد الخليفة المستعين بالله.
وفي بغداد صار ثابت صديقا للوزير "ابن بلبل"، وكان الخليفة المعتمد (256 - 279هـ / 869 - 892م) قد غضب على أخيه "المعتضد بالله" وحبسه عند ابن بلبل، وكان ثابت يزوره في منزله ثلاث مرات يوميا، وأصبح ثابت صديقا للمعتضد وحين خرج المعتضد وتولى الخلافة عام 279هـ - 892م طلب ثابتا، وأدخله في جملة الفلكيين ببلاط الخلافة، وكان ثابت قد أصبح عالما موسوعيا صاحب فصاحة، بارعا في الترجمة، وفي تصنيف الكتب بالعربية والسريانية، ولأنه كان مبجلا عند المعتضد علت بفضله مكانة الحرانيين في أرض الجزيرة، فاستقرت أحوالهم بحضرة الخلفاء في حياة ثابت وبعدها. واعتاد المعتضد أن يسأل ثابتا أسئلة بحضور معلمه العالم الفيلسوف النابه السرخسي فيجيب عنها ثابت بأجوبة كانت تنال إعجاب المعتضد ومعلمه وجلسائه. وقد جمع ثابت تلك الأجوبة وصنع منها كتابا مؤلفا من جزأين في نحو مائتي ورقة وأسماه: إجابة في أمر الزمان .


وفي عام 283هـ - 895م سأل المعتضد منجميه عن حال السنة القادمة 284هـ - 896م فقالوا كلهم إنها سنة ممطرة وستغرق بغداد ويهلك خلق كثير، وعارضهم ثابت بحساباته الفلكية وخالفهم في الرأي، وحدث ما توقعه ثابت فلم تسقط الأمطار من بداية السنة إلى خاتمتها بل إن الينابيع قد جفت، واعترى المنجمين الخجل والخزي.


وقد سأل المعتضد ثابتا أن يضع كتابا في الأنواء فوضع ثابت هذا الكتاب ولخص فيه خبرة الحرانية بالأنواء. وفي ظل المعتضد نَعِم ثابت بن قرة بحياة طيبة، فقد أقطعه المعتضد ضياعا تدر عليه عائدا كل عام.
وفي بغداد بلغ ثابت منزلة عالية فصار رئيسا للفلكيين ورئيسا للأطباء في بيمارستانات بغداد. وأصلح ثابت بن قرة ترجمات بني شاكر وترجمة حنين بن إسحاق للمجسطي إصلاحا قضى به حق إسحق عليه في صحبته. ارتبط ثابت بالعالم الفلكي سند بن علي ، وقد أرسل له سند بن علي بعض الأسئلة الهندسية، فكتب ثابت أجوبتها، واعترافا منه بفضل الوزير إسماعيل ابن بلبل أهداه كتابا بعنوان الشكل الملقب بالقطاع وهو مقال في الهندسة. ورد ثابت بن قرة في أواخر حياته بالسريانية على الكندي في رأيه في "السكون بين حركتي الشريان" وأومأ في رده الطبي بتغليط الكندي، وقد نقل هذا الكتاب إلى العربية "عيسى بن أسيد". وكان من أصدقاء ثابت بن قرة الشاعر والنديم "علي بن يحيى المنجم"، وقد ألف له ثابت كتابا ضمنه أبوابا من علم الموسيقى والغناء العربي، وشرح فيه علم الألحان طبقا للعلم الرياضي اليوناني وهو كتاب: شرح السماع الطبيعي . وفي بغداد عاش ثابت ثلاثا وثلاثين سنة من عمره الذي بلغ سبعا وسبعين سنة، وترك وراءه أسرة من العلماء من أولاده وأحفاده.
وقد ترجم ثابت بن قرة كتاب إقليدس "الأصول" أو "الأركان"، وبه خمس عشرة مقالة. وهذا الكتاب هو مبدأ العلوم الهندسية على الإطلاق. وكذلك ترجم ثابت خمسة عشر شكلا مأخوذا من مأخوذات أرشميدس، كما ترجم كتاب المخروطات لأبولونيوس، وترجم مقالة جالينوس في تشريف صناعة الطب. وترجم ثابت كتاب المجسطي لبطليموس وهو كتاب في علم الفلك. كما ترجم ثابت كتاب المسبع المنتظم لأرشميدس ، وظلت النسخة الإغريقية لهذا الكتاب مفقودة إلى أن عثر "كارل شوي" على مخطوط ترجمة ثابت بن قرة العربية في القاهرة. وكشف النقاب عنها للعالم الغربي، وتمت ترجمتها إلي اللغة الألمانية عام 1348هـ -1929م.
وإلى ثابت بن قرة يعزى الفضل في نقل أعمال علماء الإغريق من أمثال: إقليدس، أرشميدس، بطليموس، أبولونيوس، أوتوسيوس من اليونانية إلى العربية، ولولا جهوده الفذة في الترجمة لكان عدد الأعمال الرياضية الإغريقية المعروفة لدينا اليوم أقل، ولقد استوعب ثابت بن قرة محتويات أمهات الكتب التي ترجمها إلى الحد الذي مكنه من اقتراح تعديلات وتعميمات لها.
ولاشك أن ثابتا يعد أبا لعلماء الرياضة المسلمين الذين جاءوا بعد القرن الثالث الهجري / التاسع الميلادي، وأنه عبقري الرياضة والرياضيين في القرن الذي عاش فيه، فثابت بن قرة له إنجازات في الهندسة النظرية التحليلية و حساب التفاضل والتكامل ويعد من أعظم عل ماء الميكانيكا النظرية في الحضارة الإسلامية. وقد اقتبس عنه بعض العلماء العرب ومنهم: البوزجاني ، و أبو النصر ابن عراق ، و الطوسي بما ذكره في حساب المثلثات
توصل ثابت في كتبه إلى حلول هندسية لإيجاد مركز الثقل لأشكال هندسية مختلفة، مربعا كان هذا الشكل أو مثلثا أو شكلا منحرفا أو دائرة. وحل مسائل في إيجاد الحجم والمساحات بطرق شتى. وقد مهد ثابت الطريق لحساب التفاضل والتكامل بإيجاد حجم الجسم المتولد من دوران القطع المكافئ حول محوره. ووضع مفروضات مسائل هندسية وقدم حلولا لها.
ووضع كتابا برهن فيه على قانون يقول: إن الخطين المستقيمين إذا خرجا على أقل من زوايتين قائمتين التقيا في جهة خروجهما (برهان مصادرة إقليدس الشهيرة في كتابه: "الأصول" ) .
اشتغل ثابت بن قرة بالأعداد المتحابة في كتابه: الأعداد المتحابة ، وقد توصل فيه إلى إيجاد صيغة مبتكرة للأعداد المتحابة ووضع معادلة لها وبرهن عليها. كما كان أحد الرياضيين العرب الأفذاذ الذين بذلوا محاولات لحل معادلات الدرجة الثالثة بالطرق الهندسية، شأنه في ذلك شأن: الماهاني ، و الخازن ، و ابن الهيثم ، و عمر الخيام
توصل ثابت بن قرة إلى تعميم نظرية فيثاغورس بتطبيق الحساب والجبر في الهندسة، وبالعكس عند حل المسائل الجبرية بالطرق الهندسية. واشتغل ثابت بن قرة بالهندسة التحليلية النظرية وله ابتكارات سبق بها ديكارت (1005 - 1061هـ / 1596 - 1650م) . وقد وضع فيها كتابا بين فيه علاقة الجبر بالهندسة والهندسة بالجبر وكيفية الجمع بينهما.
أعطى ثابت بن قرة المعادلات التكعيبية بطرق هندسية بواسطة قطاع المخروط، وقد استعان بها علماء الغرب في بحوثهم الرياضية في القرن العاشر الهجري - القرن السادس عشر الميلادي، مثل: كارادان وغيره من كبار الرياضيين الغربيين. وكان ثابت أول من كتب في المربعات السحرية ، و الحساب الهوائي
كتب ثابت بن قرة رسالة في النسبة المؤلفة . واستعمل ثابت في تلك الرسالة مصطلح الجيب الهندسي بدلا من وتر ضعف القوس الذي كان يستعمله علماء اليونان، وكان لهذا الاستعمال أهمية كبيرة في تسهيل حلول الأعمال الرياضية.
وكان ثابت بن قرة من رواد علماء الفلك ال عرب الذين ترجمت مؤلفاتهم إلى اللغة اللاتينية خاصة. وكانت مرجعا للأوربيين حتى أواخر العصور الحديثة. ومن أوائل أعمال ثابت تأليفه لكتاب عن المزولة الشمسية التي تستخدم من قديم في قياس الزمن. خصوصا لتحديد وقت الصلاة وفيها يبين طول الظل الممدود من عمود شاخص طوال ساعات النهار في كل مكان. وتكون الشمس في الزوال (منتصف النهار) عندما يصل إلى أقل قيمة له. ولا يكون طول الظل صفرا إلا في حالة التعامد عندما تكون الشمس فوق الرءوس تماما. ولا تتوفر هذه الحالة إلا بين خطي عرض 33. 5 شمالا وجنوبا.
وقد توصل ثابت بن قرة إلى معرفة خطوط العرض ليلا بقياس ارتفاع النجم القطبي، وقد وجد أن الدرجة القوسية=56ميلا.
وقد قام ثابت بأرصاد حساب في مرصد الشماسية ببغداد، وأجملها في كتاب بين فيه مذاهبه في سنة الشمس وما أدركه بالرصد في مواضع ارتفاعها. واستخرج حركة الشمس حول الأرض على مدار الفصول، وحسب طول السنة النجمية، فكانت أكثر من الحقيقة بنصف ثانية. وحسب ميل دائرة البروج، وقال بحركتين: مستقيمة ومتقهقرة لنقطتي الاعتدال.
ظاهرة هزة الاعتدالين
اكتشف وهو بمرصد الشماسية الظاهرة الفلكية المعروفة باسم: "هزة الاعتدالين". وقد فسر ثابت بن قرة هذه الظاهرة بأن محور دوران الأرض يهتز أو يترنح كما تترنح النحلة، وهي تقف وتدور حول محورها، فتروح متمايلة هنا وهناك. وقال بأن ترنح محور الأرض له دورة كاملة تستغرق نحوا من ست وعشرين ألف سنة، بمعنى أن المحور لا يشير دائما إلى النجم القطبي. وقد أكد صحة ذلك الفلكيون في العصر الحديث.
وقد أحصى مؤرخو العلوم والعلماء في موسوعاتهم لثابت بن قرة مائة وثمانين كتابا في علوم: الرياضة، والطب، والطبيعة، والفلسفة، والفلك، والأخلاق، وقد فقد أكثر هذه الكتب في الأحداث الدامية التي أصابت العالمين العربي والإسلامي قبيل عصر النهضة الأوربية الحديثة.
له في الرياضيات كتب أهمها: أشكال الخطوط التي يمر عليها ظل القياس ، و أشكال القطاع ، و استخراج مسائل الهندسة ، و أشكال المجسطي ، و الأعداد المتحابة ، و آلة الزمر ، و النسبة المؤلفة ، و المفروضات ، وقد وضع به مسائل رياضية.
ويصر فريق من مؤرخي العلوم على أن ثابت بن قرة عالم رياضة بالدرجة الأولى لأهمية كتبه الرياضية وخاصة بكتابيه: مدخل لكتاب إقليدس و النسبة المؤلفة ولتمهيده لعلم حساب التفاضل والتكامل.


علم الهندسة


تعريف علم الهندسة
الهندسة هي دراسة مختلف أنواع الأشكال وصفاتها ، كما أنها دراسة علاقة الأشكال والزوايا والمسافات ببعضها ، وتنقسم الهندسة البسيطة إلى جزأين : الهندسة المستوية والهندسة الفراغية ، وفي الهندسة المستوية تدرس الأشكال التي لها بعدين فقط ، أي التي لها طول وعرض ، أما الهندسة الفراغية فتدرس الهندسة في ثلاثة أبعاد ، وتتعامل مع مفرغات مثل متوازيات المستطيلات ، والمجسمات الأسطوانية ، والأجسام مخروطية الشكل ، والأجسام الكروية ، الخ ... أي مع الأشكال التي لها طول وعرض وسمك .

اصل علم الهندسة
أصبحت الهندسة جزءا أساسيا من العلوم المعاصرة لا يمكن إحراز أي تقدم بدونها. فهل تعرفون كيف اكتشفت الهندسة؟
أصل كلمة هندسة باللغة الإنكليزي (جيومتري)يعود إلى لغة الإغريق القديمة ، وهي تتكون من كلمتين : "جيو" ومعناها الأرض ، "متري" ومعناها قياس ، وهكذا كانوا من أوائل الذين اكتشفوا الهندسة ، ففي كل سنة كان نهر النيل يفيض فيغرق الأرياف ، مما كان يؤدي إلى إزالة علامات الحدود بين تقسيمات الأرض المختلفة ، وكانوا لذلك بحاجة إلى طريقة ما لإعادة قياس قطع أراضهم ، فصمموا طريقة لوضع علامات للأراضي بمساعدة القوائم والجبال ، وكانوا يضعون قائم في الأرض في مكان مناسب ، وكان قائم أخر يوضع في مكان أخر ، ثم يوصل القائمان بحبل يحدد الحدود ، وبوصل قائمان آخرين كانت المساحة تعلم كموقع للزراعة أو للبناء

تاريخه
في البداية كانت كل الهندسة تعتمد على الحدس والبديهة ، لكن معلما إغريقيا كان اسمه طاليس انكبَّ في عام (600) قبل الميلاد على إثبات المبادئ الهندسية بطريقة علمية ، وفي الهندسة تدعى الحقيقة " نظرية " واكتشف طاليس إثباتات لبعض النظريات فوضع بداية للهندسة الوصفية .
لكن اقليدس الإسكندري كان هو الذي منح الهندسة وضع العلم ، ففي عام (300) قبل الميلاد تقريبا جمع اقليدس كل النتائج الهندسية التي كانت معروفة حتى ذلك الوقت ، ثم نظمها بطريقة منهجية في سلسلة من (13) كتابا ، و أطلق على هذه الكتب اسم " المبادئ " ، وقد استخدمها العالم كافة قرابة (2000) ألفي عام في دراسة الهندسة ، وتطورت هندسة اقليدس على هذه المبادئ ، ومع مرور المزمن طور رياضيون مختلفون فروعا أخرى للهندسة ، ونحن في الوقت الحاضر ندرس أنواعاً كثيرة من الهندسة مثل الهندسة التحليلية ، وهندسة المثلثات ، وهندسة منكوفسكي(ذات الأبعاد الأربعة) ، والهندسة الّلا إقليديسية ، والهندسة الاسقاطية .

إننا نستخدم مبادئ الهندسة في كل حياتنا المعاصرة ، لوضع التصاميم والديكورات في المعمار والمناظر الطبيعية والحدائق ، هذا بالإضافة إلى أن الكثير من الأدوات التي يستخدمها المساحون مثل البوصلة والسدسية والمزولة و غيرها لها علاقة بالهندسة
وشكرا

بعد ان تعرفنا تاريخ الهندسة
نأخذ جانب من قواعد و اسس الهندسة الفراغية
مجموعة من القواعد والنظريات قد تساعد البعض في فهم ميادئ الهندسة وبعضها قد يفيد في حل الالغاز الهندسية بالمنتدى
قد يظن البعض انها اشياء قديمة بلا فائدة
لكن سبب وضعي لها هو ارادة ان يكون الموضوع شامل لكل ما يتعلق بها
سأقسمها لقسمين
القسم الاول عبارة عن مجموعة من المسلمات والنظريات والنتائج التي تبنى عليها الهندسة الفراغية
نبدأ

1) أي نقطتين في الفراغ يمر بهما مستقيم واحد فقط.
2) يتعين المستوى بثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة أو مستقيمان متقاطعان أو مستقيم ونقطة خارجة عنه أو مستقيمين متوازيين.
3) المستوى يحوي ثلاث نقط على الأقل ليست على استقامة واحدة
4) المستوى هو ذلك السطح الذي إذا اختيرت نقطتان عليه فالمستقيم المار بهما يقع بأكمله في المستوى (منطق على ذلك السطح).
5) إذا اشترك مستقيم ومستوى في نقطتين فالمستقيم يقع بكامله في المستوى.
6) يتقاطع المستويان في مستقيم يعرف بخط تقاطعهما المشترك.
7) إذا اشترك مستويان في نقطة وفلا بد أن تقع على خط تقاطعهما ولا بد من أنهما متقطعان..
من نقطة خارج مستقيم لا يمكن رسم إلا مستقيم واحد يوازي المستقيم المفروض
9) المستقيمان اللذان لا يلتقيا أما أن يكونا متوازيين إذا جمعهما مستوى واحد وإلا فإنهما متخالفان
10) تقاس الزاوية بين المستقيمين المتخالفين برسم مستقيم يوازي أحدهما من نقطة على الآخر (أتفق على الزاوية الحادة)ز
11) إذا اشترك مستويان في ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة فإنهما منطبقان.
12) المستقيم ل يوازي المستوى س إذا كان ل تقاطع س =مجموعة خالية أي لا يلتقيا أو ل محتواة في س أي ل منطبق على س.
13) إن لم يكن ل // س فإنه يقطعه في نقطة ب مثلاً.
14) يتوازى المستويان إذا اشتركا في ثلاث نقط (منطبقان) أو لا يلتقيا مهما امتدا ( س تقاطع ص =مجموعة خالية)
15) إذا وازى مستقيم ل خارج المستوى س مستقيماً في المستوى س فإن ل // س.
16) إذا وازى مستقيم ل مستوى س فكل مستوى يمر بالمستقيم ل يقطع المستوى س في مستقيم ك فإن ل // ك.
17) إذا قطع مستوى مستويان متوازيان فإن خطا تقاطعه معهما متوازيان.
18) المستقيم العمودي على مستقيمين في مستوى واحد يكون عمودي على مستويهما أو عمودي على مستقيمين عند نقطة تقاطعهما.
19) المستقيمان العمودان على مستوى واحد متوازيان.
20) المستقيمان المتوازيان إذا كان أحدهما عمودي على مستوى فالآخر عمودي عليه.
21) إذا توازى مستقيمان فالمستوى المار بأحدهما يكون موازياً الآخر
22) إذا قطعت ثلاثة مستويات متوازية بمستقيمين فإن أطوال القطع المستقيمة المحصورة بينهما تكون متناسبة.
23) المستقيمان الموازيان لثالث في الفراغ متوازيان.
24) إذا مر مستويان بمستقيمين متوازيين فإن خط تقاطع المستويان يوازي كلاً من المستقيمين المتوازيين.
25) إذا وازى مستقيمان متقاطعان مستقيمان آخران متقاطعان فالزاوية بين المستقيمين الأوليين مساوية للزاوية بين الآخرين أو مكملة لها.
26) إذا كان مستقيماً عمودي على مستوى فكل مستوى يمر بهذا المستقيم يكون عمودياً على المستوى.
27) إذا تعامد مستويان ووجد مستقيم في أحدهما عمودي على خط تقاطعهما فإنه يكون عمودي على المستوى الآخر.
28) المستويان المتقاطعان وعمدان على مستوى ثالث فإن خط تقاطعهما يكون عمودي على المستوى الثالث.
29) تعرف الزاوية بين مستويين بالزاوية الزوجية بينهما وتقاس بالزاوية المحصورة بين العمودين المقامين من نقطة على خط تقاطعهما.
30) إذا كانت الزاوية الزوجية بين مستويين قائمة كان المستويان متعامدين، والعكس صحيح.
31) المستقيم ل المائل على المستوى س والعمودي على المستقيم ك محتواة في س فإن مسقط ل على س يكون عمودي على ك.
32) إذا كان المستقيم ل المائل على المستوى س مسقطه عمودي على مستقيم ك محتواة في س فإن ل يكون عمودي على ك.
ملحوظة : تم استبدال الرموز الهندسية بدلالتها اللفظية لعدم تمكني من كتابة الرموز وااسف لذلك

قبل ما نكمل الحديث عن النظريات والقوانين في الهندسة الفراغية ناخذ وقفة بسيطة مع


اقليدس


عالم رياضيات إغريقي من اسكندرية القرن الثالث قبل الميلاد ، تنسب إليه أول معالجة موضوعية للهندسة في كتابه الأصول أو العناصر ، و يعالج هذا الكتاب كذلك التناسب و العدد بما في ذلك الأعداد اللامنطقية ، و لقد كتب إقليدس أعمالا في علم الفلك و القطوع المخروطية ، و قد وصل كتاب الأصول إلى الغرب مترجما عن العربية ، و أحدث تغييرا عميقا ، و لم تكن كتب الهندسة المدرسية ، و حتى وقت قريب إلا ترجمات لإقليدس

إقليدس (ولد عام 365 ق.م.) وضع نظام البديهيات. وجمع أقليدس عمله في الهندسة في كتاب أسماء الأصول. وقد أعتبرت هندسة أقليدس منذ ذلك العهد نموذجا للبرهان المنطقي. ومن التعاريف التي وضعها أقليدس:
(النقطة هي ما لا يكون لها جزء) (المستقيم هو طول ليس له عرض)
أما البديهيات فقسمها الي بديهيات ومسلمات فمثلا من البديهيات:
1.الأشياء التي تساوي شيئا واحدا تكون متساوية.
2.إذا أضيفت متساويات الي متساويات فالمجموع يكون متساويا.
3.الأشياء التي تنطبق علي بعضها تكون متساوية.
4.الكل أكبر من الجزء.
ومن مسلمات أقليدس:
1.المستقيم يمكن ان يرسم من نقطة الي نقطة أخري.
2.القطعة المستقيمة المحدودة يمكن أن تمتد الي خط مستقيم.
3.كل الزوايا القائمة يساوي بعضها بعضا ..... وهكذا.
ويتكون النظام الهندسي لأقليدس من التعريفات والبديهيات والفروض والنظريات المشتقة.
بقيت هندسة إقليدس تدرس كما هي حتي القرن التاسع عشر حيث أكتشفت الهندسة اللا إقليديه



قوانين بعض الاشكال الخاصة في الهندسة الفراغية
المنشور:

المنشور ينشأ من حركة مساحة مستوية على شكل مضلع في اتجاه عمودي على مستويها تسمى المساحة في وضع الأول والأخير بقاعدتي المنشور والمستقيم المتولد من حركة أي رأس يسمى حرفاً جانبياً ويعرف هذا بالمنشور القائمة وإن كانت الحركة للمساحة في اتجاه يميل على المستوى قيل أن المنشور مائل وفي الحالتين تكون الأحرف الجانبية متوازية ومتساوية وتعرف متوازيات الأضلاع الناشئة بالأوجه الجانبية للمنشور ويسمى المنشور حسب عدد أضلاع قاعدته فالمنشور الثلاثي ما كانت قاعدته مثلث والمنشور الرباعي ما كانت قاعدته شكل رباعي وارتفاعه العمود النازل من أي نقطة على أحد قاعدتيه على القاعدة الأخرى.
حجم المنشور = مساحة قاعدته × الارتفاع
المساحة الجانبية للمنشور المائل = محيط القاعدة × ارتفاعه الجانبي
المساحة الجانبية للمنشور القائم = محيط القاعدة × ارتفاعه (طول حرفه الجانبي)
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين





متوازي السطوح:
منشور قاعدته متوازي أضلاع. (جميع أوجهه الجانبية متوازيات أضلاع)
أقطاره تتقاطع في نقطة واحدة منتصف كل منها

متوازي المستطيلات:
منشور رباعي قائم قاعدته مستطيل وبالتالي جميع أوجهه مستطيلات.
أقطاره متساوية ومربع أي منها يساوي مجموع مربعات ثلاث أحرف منه متلاقية في نقطة واحدة.
حجم متوازي المستطيلات = الطول × العرض × الارتفاع أو مساحة القاعدة × الارتفاع
يمكن اعتبار أي وجه في كل من متوازي السطوح أو متوازي المستطيلات قاعدة لمنشور رباعي.




المكعب:
متوازي مستطيلات جميع أحرفه متساوية.
مربع قطره يساوي 3 أمثال مربع طول ضلعه
حجم المكعب = ل3 حيث ل طول حرفه
المساحة الجانبية للمكعب = 4 ل2
المساحة الكلية للمكعب = 4 ل2 + 2 ل2 = 6 ل2 ( 2 ل2 مساحة القاعدتين)
الزاوية بين وجه في المنشور وقاعدته:
هي الزاوية الزوجية (ى) بين أحد الأوجه والقاعدة والمبينة بالشكل
حيث: ع ارتفاع المنشور.
عــ ارتفاعه الجانبي.

المنشور المائل يكافئ المنشور القائم الذي قاعدته المقطع القائم للمنشور المائل وارتفاعه يساوي الحرف الجانبي في المنشور المائل






الاسطوانة :

السطح الاسطواني ينشأ من حركة مساحة محدودة بمنحنى مقفل في اتجاه عمودي عليها ولا توجد أوجه جانبية بل سطح منحني يعرف بالسطح الاسطواني، وإن كان السطح المتحرك محدود بدائرة كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية قائمة وإن كانت الحركة في اتجاه يميل على السطح المتحرك كان الجسم المتولد اسطوانة دائرية مائلة.
يمكن أن نقول الاسطوانة هي منشور قاعدتيه دائرتان
وتتولد الاسطوانة الدائرية القائمة أيضاً من دوران مستطيل حول أحد بعديه دورة كاملة ويكون هذا البعد ارتفاع الاسطوانة (ع) والبعد الآخر نصف قطرها (نق).
وتتولد الاسطوانة عن حركة مستقيم مواز لنفسه قاطعاً محيط دائرة ويعرف هذا المستقيم براسم الاسطوانة.
يسمى البعد بين مركزي قاعدتي الاسطوانة(دائرتان) محور الاسطوانة.
إذا لم تكن قاعدتا الاسطوانة متوازيتان كانت الاسطوانة ناقصة، وذكر كلمة اسطوانة يعني اسطوانة دائرية قائمة تامة (كاملة).

حجم الاسطوانة = مساحة القاعدة × الارتفاع ( هي حالة خاصة من المنشور)
المساحة الجانبية للاسطوانة = محيط القاعدة × الارتفاع
= 2 ط نق × ع
= 2ط نق ع
المساحة الكلية للاسطوانة = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين
= 2 ط نق ع + 2 ط نق2 ( مساحة الدائرة = ط نق2 )
= 2ط نق( ع + نق)
إذا تساوى حجما اسطوانتين دائرتين قائمتين كانت النسبة بين مساحتيهما تساوي النسبة العكسية لنصفى قطري قاعدتيهما.
إذا تساوت المساحتان الجانبيتان لأسطوانتين دائرتين قائمتين كانت النسبة بين حجميهما كالنسبة بين نصفى قطري قاعدتيهما.





الهـرم :

إذا علم مضلع مستو ونقطة خارجة ووصلت برؤوس المضلع تكونت عدة مثلثات قواعدها أضلاع المضلع والجسم الذي تحدده سطوح هذه المثلثات وسطح المضلع يسمى هرم.

قاعدة الهرم هي ذلك المضلع والرأس المشترك للمثلثات هو رأس الهرم والمثلثات هي أوجه الهرم الجانبية والعمود النازل من رأس الهرم على قاعدته هو ارتفاع الهرم ويسمى الهرم حسب عدد أضلاع قاعدته فإن كانت مثلث قيل هرم ثلاثي ويسمى الهرم قائم إذا كان موقع العمود من الرأس على القاعدة وهي مضلع منتظم هو مركز القاعدة (المضلع المنتظم ما كانت أضلاعه وزواياه متساوية كالمثلث المتساوي الأضلاع).

إذا قطع الهرم بمستوى يوازي قاعدته نشأ هرم ناقص متوازي القاعدتين النسبة بين مساحتي القاعدتين كالنسبة بين مربعي بعديهما عن رأس الهرم.

حجم الهرم = 1/3 مساحة القاعدة × الارتفاع
المساحة الجانبية للهرم = نصف محيط قاعدته × الارتفاع الجانبي
المساحة الكلية للهرم = المساحة الجانبية + مساحة قاعدته .........._____
حجم الهرم الناقص المتوازي القاعدتين= 1/3ع( ق1 + ق2 + /\ ق1 ق2 ) ق1 ، ق2 مساحتي القاعدتين
المساحة الجانبية للهرم الناقص المتوازي القاعدتين = نصف مجموع محيطي قاعدتيه × الارتفاع الجانبي
المساحة الكلية للهرم الناقص المتوازي القاعدتين = المساحة الجانبية + مساحتي قاعدتيه




المخروط

السطح المخروطي يتولد من حركة مستقيم مار بنقطة ثابتة وقاطع محنى مستوى معلوم. فالمنحنى هو محيط قاعدة المخروط والمستقيم يسمى راسم السطح المخروطي ويسمى في أ وضع راسم وإن كان المنحنى دائرة قيل مخروط دائري وكذلك المخروط حالة خاصة من الهرم قاعدته دائرة وإذا مر الارتفاع بمركز القاعدة قيل مخروط دائري قائم، ومقطع المخروط الناشئ من قطعه بمستوى يمر برأسه والقاعدة هو مثلث متساوي الساقين وإذا قطع المخروط بمستوى يوازي القاعدة نشأ المخروط الدائري المتوازي القاعدتين،
كما ينشأ المخروط الناقص الدائري القائم من دوران شبه منحرف قائم حول ارتفاعه دورة كاملة.
كما يتولد المخروط الدائري القائم من دوران مثلث قائم حوا أحد ضلعي القائمة.


حجم المخروط الدائري القائم =1/3 مساحة القاعدة × الارتفاع
حجم المخروط الدائري القائم = 1/3ط نق2× ع
حجم المخروط الدائري القائم = 1/3 ط ع3 طا2هـ حيث هـ الزاوية نصف الرأسية
حجم المخروط الدائري القائم =1/3 ط نق3 طتاهـ
حجم المخروط الدائري القائم الناقص = 1/3 ط ع [ (نق1)2 + نق1 نق2 + (نق2)2 ]
المساحة الجانبية للمخروط الدائري القائم = نصف محيط قاعدته × طول راسمه
= ط نق ل حيث ل طول راسم المخروط
= ط نق /\ نق2 + ع2
المساحة الجانبية للمخروط النقص المتوازي القاعدتين = نصف مجموع محيطي قاعدتيه المتوازيتين × طول حرفه
= ط ( نق1 + نق2) × ح
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدة للمخروط الدائري القائم
المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحة القاعدتين للمخروط الدائري القائم الناقص المتوازي القاعدتين




الكـرة
الكرة جسم محدد بسطح مقفل وجميع نقطه تقع على أبعاد متساوية من نقطة ثابتة.
تسمى النقطة الثابتة بمركز الكرة والبعد الثابت بنصف قطر الكرة (نق).
وتنشأ الكرة من دوران نصف دائرة دورة كاملة حول قطرها.
المقطع الحادث من قطع الكرة بمستوى يمر بمركزها هو دائرة نصف قطرها يساوي نصف قطر الكرة
، تسمى هذه الدائرة بالدائرة العظمى ويسمى المستوى بالمستوى المركزي أو القطري
إذا قطع كرة مستوى فالمستوى الحادث محيط دائرة صغرى ( المستوى لا يمر بالمركز)


حجم الكرة = 4/3 ط نق3
مساحة سطح الكرة = 4 ط نق2

الكرة الناقصة :
هي الواقعة بين مستويين متوازيين قاطعين للكرة. يسمى المقطعان بالقاعدتين والبعد بينهما بالارتفاع.
يسمى السطح الكروي للكرة الناقصة بالمنطقة الكروية.
القطعة الكروية : إذا قطعت الكرة بمستو غير مار بالمركز انقسمت إلى جزأين يسمى كل منهما قطعة كروية ويكون المقطع قاعدة القطعة الكروية والعمود المقام من مركز المقطع (دائرة) ملاقي محيط الكرة في نقطة هو ارتفاع القطعة الكروية ( ن هـ في الشكل ).
يسمى السطح الكروي للقطعة الكروية بالطاقية الكروية، وهي حالة خاصة من المنطقة باعتبار أحد قاعدتيها مماس للكرة.

مساحة المنطقة الكروية = 2 ط نق ع حيث نق نصف قطر الكرة ، ع ارتفاع المنطقة الكروية.
مساحة الطاقية الكروية = 2 ط نق ع حيث نق نصف قطر الكرة ، ع ارتفاع القطعة الكروية.

حجــم المنطقة الكروية = ط ع /6[ 3{(نق1)2 +(نق2)2 } + ع2] ............ (1)
بوضع نق2 = صفر في (1) فإن المنطقة الكروية تؤول إلى قطعة كروية نصف قطر قاعدتها نق1 وارتفاعها ع فإن :
حجــم القطعـة الكروية =ط ع/6[ 3 (نق1)2 + ع2]
بوضع نق2 = 0 ، نق1 = نق في (1) فإن ع تؤول إلى نق والمنطقة الكروية تؤول إلى نصف كرة نصف قطرها نق ومنها:
حجــم نصـف الكـرة = ط نق/6[ 3 نق2 +نق2] = 2/3ط نق3

حجــم نصـف الكـرة = 2/3 ط نق3
بوضع في (1) نق2 = 0 ، نق1 = 0 ، ع = 2نق فإن المنطقة الكروية تؤول إلى كرة نصف قطرها نق ومنها:
حجــم الكـرة =ط * 2نق /6[ 0 + (2نق)2]

سنتكلم ان شاء الله عن مبادئ الرياضيا الان قليلا ونترك الهندسة
سنتكلم عن العديد من الاشياء مثل الاحتمالات و المتتاليات والتباديل والتوافيق والدوال ........الخ
ونبدأ
الاحتمالات

--------------------------------------------------------------------------------

الاحتمالات عملية تغليب حدث مرتقب على حدث آخر. فمثلاً، عندما تقول إن واقعة ما أكثر احتمالاً من أخرى فذلك يعني أنها أكثر توقعًا في الحدوث. ويحاول فرع الرياضيات المسمى نظرية الاحتمالات ، أن يعبر بالأرقام عن صيغ مثل الواقعة (أ) أكثر احتمالاً من الواقعة (ب). فإذا قذف شخص عملة في الهواء، فستكون عند سقوطها إما على وجه الصورة أو على وجه الكتابة. وهنا نقول إن احتمال سقوطها على أي وجه من الاثنين مساوٍ للاحتمال الآخر. وحينئذ نقول: إن احتمال سقوطها على وجه الصورة يكون ½. فإذا تقرر قذف العملة مائة مرة وفرضنا أن (س) هي عدد مرات سقوطها على وجه الصورة، من المتوقع أن تكون النسبة س/100 قريبًا من ½. وعموماً إذا افترضنا أن عدد مرات قذف العملة (ن) وكانت (س) هي عدد مرات سقوط وجه الصورة تكون النسبة س/ن قريبًا جدًا من ½ إذا كان ن عددًا كبيرًا.

لنفترض أن شخصًا يقذف بثلاث قطع معدنية في وقت واحد، بفرض أن وجه الصُّورة لأعلى (س) ووجه الكتابة (ص). هناك ثماني نتائج ممكنة:


س س س
س س ص
س ص س
ص س س
س ص ص
ص س ص
ص ص س
ص ص ص

ويلاحظ أن ثلاثًا من هذه النتائج بها 2س ( أي وجه الصورة)، وبذلك يكون احتمال سقوط قطعتين بوجه الصورة لأعلى 3/8 وناتجٌ واحد به سقوط بوجه الصورة لأعلى في القطع الثلاث معًا، لذلك فإن احتمال هذه النتيجة 1/8. لذلك فإن واقعة سقوط وجهين بالصورة لأعلى أكثر احتمالية من واقعة حدوث سقوط الثلاثة وجوه بالصور لأعلى. فإذا قذفنا بثلاث قطع معدنية عددًا كبيرًا من المرات، فإن احتمال سقوط قطعتين بوجه الصورة 3/8 ، وسقوط ثلاث قطع بوجه الصورة لأعلى 1/8 من المرات.

والاحتمالات هي أساس علم الإحصاء، فمثلاً من الممكن أن يجمع عالم في السياسة معلومات، ثم يستخدم علم الإحصاء للتنبؤ بالنسبة المئوية من الناخبين الذين سينتخبون مرشحًا معينًا في الانتخابات. ويستخدم العالم نظرية الاحتمالات لحساب الأخطاء الممكنة لتقديراته.